题⽬描述

输⼊⼀个⻓度为n 的整型数组array ，数组中的⼀个或连续多个整数组成⼀个⼦数组，找到⼀个具有
最⼤和的连续⼦数组。

1. ⼦数组是连续的，⽐如[1,3,5,7,9] 的⼦数组有[1,3] ， [3,5,7] 等等，但是[1,3,7] 不是⼦数组
2. 如果存在多个最⼤和的连续⼦数组，那么返回其中⻓度最⻓的，该题数据保证这个最⻓的只存在⼀个
3. 该题定义的⼦数组的最⼩⻓度为1 ，不存在为空的⼦数组，即不存在[]是某个数组的⼦数组
4. 返回的数组不计⼊空间复杂度计算

示例 1
输⼊：[1,-2,3,10,-4,7,2,-5]
返回值：[3,10,-4,7,2]
说明：经分析可知，输⼊数组的⼦数组[3,10,-4,7,2]可以求得最⼤和为18，故返回[3,10,-4,7,2]

示例 2
输⼊：[1]
返回值：[1]

思路及解答

暴力枚举

通过三重循环枚举所有可能的子数组，使用三重循环枚举所有可能的子数组起始和结束位置，计算每个子数组的和

public class Solution {
    public int[] findMaxSubarray(int[] array) {
        if (array == null || array.length == 0) {
            return new int[0];
        }
        
        int n = array.length;
        int maxSum = Integer.MIN_VALUE;
        int start = 0, end = 0;
        
        // 第一重循环：子数组起始位置
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            // 第二重循环：子数组结束位置
            for (int j = i; j < n; j++) {
                int currentSum = 0;
                // 第三重循环：计算子数组和
                for (int k = i; k <= j; k++) {
                    currentSum += array[k];
                }
                
                // 更新最大和及位置（优先选择长度更长的）
                if (currentSum > maxSum || (currentSum == maxSum && (j - i) > (end - start))) {
                    maxSum = currentSum;
                    start = i;
                    end = j;
                }
            }
        }
        
        // 构建结果数组
        int[] result = new int[end - start + 1];
        System.arraycopy(array, start, result, 0, result.length);
        return result;
    }
}

• 时间复杂度：O(n³)，三重循环嵌套
• 空间复杂度：O(1)，除结果外只使用常数空间

优化枚举法（前缀和思想）

在暴力法基础上优化，利用前缀和在计算子数组和时复用之前的结果，减少一层循环

public class Solution {
    public int[] findMaxSubarray(int[] array) {
        if (array == null || array.length == 0) {
            return new int[0];
        }
        
        int n = array.length;
        int maxSum = Integer.MIN_VALUE;
        int start = 0, end = 0;
        
        // 外层循环：子数组起始位置
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int currentSum = 0;
            // 内层循环：从起始位置向后累加
            for (int j = i; j < n; j++) {
                currentSum += array[j]; // 复用之前计算的结果
                
                // 更新最大和（优先选择长度更长的）
                if (currentSum > maxSum || (currentSum == maxSum && (j - i) > (end - start))) {
                    maxSum = currentSum;
                    start = i;
                    end = j;
                }
            }
        }
        
        return buildResult(array, start, end);
    }
    
    private int[] buildResult(int[] array, int start, int end) {
        int[] result = new int[end - start + 1];
        System.arraycopy(array, start, result, 0, result.length);
        return result;
    }
}

• 时间复杂度：O(n²)，减少了一层循环
• 空间复杂度：O(1)，常数级别空间复杂度

分治法（递归思维）

采用分治思想，将问题分解为更小的子问题

将问题分解为左半部分、右半部分和跨越中间的三部分

即递归求解左右子数组，合并时处理跨越中间的情况

public class Solution {
    public int[] findMaxSubarray(int[] array) {
        if (array == null || array.length == 0) {
            return new int[0];
        }
        Result result = findMaxSubarrayHelper(array, 0, array.length - 1);
        return buildResult(array, result.start, result.end);
    }
    
    private Result findMaxSubarrayHelper(int[] array, int left, int right) {
        // 基准情况：单个元素
        if (left == right) {
            return new Result(left, right, array[left]);
        }
        
        int mid = left + (right - left) / 2;
        
        // 递归求解左右两部分
        Result leftResult = findMaxSubarrayHelper(array, left, mid);
        Result rightResult = findMaxSubarrayHelper(array, mid + 1, right);
        Result crossResult = findMaxCrossingSubarray(array, left, mid, right);
        
        // 返回三者中的最大值（长度优先）
        return getMaxResult(leftResult, rightResult, crossResult);
    }
    
    private Result findMaxCrossingSubarray(int[] array, int left, int mid, int right) {
        // 向左扩展找最大和
        int leftSum = Integer.MIN_VALUE;
        int sum = 0;
        int maxLeft = mid;
        for (int i = mid; i >= left; i--) {
            sum += array[i];
            if (sum > leftSum) {
                leftSum = sum;
                maxLeft = i;
            }
        }
        
        // 向右扩展找最大和
        int rightSum = Integer.MIN_VALUE;
        sum = 0;
        int maxRight = mid + 1;
        for (int i = mid + 1; i <= right; i++) {
            sum += array[i];
            if (sum > rightSum) {
                rightSum = sum;
                maxRight = i;
            }
        }
        
        return new Result(maxLeft, maxRight, leftSum + rightSum);
    }
    
    private Result getMaxResult(Result r1, Result r2, Result r3) {
        Result maxResult = r1;
        if (r2.sum > maxResult.sum || (r2.sum == maxResult.sum && (r2.end - r2.start) > (maxResult.end - maxResult.start))) {
            maxResult = r2;
        }
        if (r3.sum > maxResult.sum || (r3.sum == maxResult.sum && (r3.end - r3.start) > (maxResult.end - maxResult.start))) {
            maxResult = r3;
        }
        return maxResult;
    }
    
    private int[] buildResult(int[] array, int start, int end) {
        int[] result = new int[end - start + 1];
        System.arraycopy(array, start, result, 0, result.length);
        return result;
    }
    
    // 辅助类存储子数组结果
    class Result {
        int start, end, sum;
        Result(int s, int e, int sum) {
            this.start = s;
            this.end = e;
            this.sum = sum;
        }
    }
}

• 时间复杂度：O(n log n)，递归深度为log n，每层处理时间为O(n)
• 空间复杂度：O(log n)，递归调用栈的深度

动态规划-Kadane算法（最优解）

遍历数组，维护当前子数组和，根据规则重置或扩展当前子数组

假设现在有 n 个元素，突然加上⼀个元素，变成 n+1 个元素，对连续⼦数组的最⼤和有什么影响呢？

我们只需要知道以每⼀个元素结尾的最⼤连续⼦数组，再维护⼀个最⼤的值即可。

假设数组为num[] ，⽤ dp[i] 表示以下标 i 为终点的最⼤连续⼦数组和，遍历每⼀个新的元素nums[i+1] ，以 num[i+1] 为连续⼦数组的情况只有两种：

• dp[i] + num[i+1]
• 只有num[i+1]

所以以nums[n] 结尾的最⼤连续⼦数组和为： dp[i] = max( dp[i-1] + num[i], num[i])

在计算的过程中，需要维护⼀个最⼤的值，并且把该连续⼦数组的左边界以及右边界维护好，最后根据维护的区间返回。

public class Solution85 {
    public int[] FindGreatestSumOfSubArray(int[] array) {
        int[] dp = new int[array.length];
        dp[0] = array[0];
        int maxsum = dp[0];
        int left = 0, right = 0;
        int maxLeft = 0, maxRight = 0;
        for (int i = 1; i < array.length; i++) {
            right++;
            dp[i] = Math.max(dp[i - 1] + array[i], array[i]);
            if (dp[i - 1] + array[i] < array[i]) {
                left = right;
            }
            // 更新最⼤值以及更新最⼤和的⼦数组的边界
            if (dp[i] > maxsum || dp[i] == maxsum && (right - left + 1) > (maxRight - maxLeft + 1)) {
                maxsum = dp[i];
                maxLeft = left;
                maxRight = right;
            }
        }
        // 保存结果
        int[] res = new int[maxRight - maxLeft + 1];
        for (int i = maxLeft, j = 0; i <= maxRight; i++, j++) {
            res[j] = array[i];
        }
        return res;
    }
}

• 时间复杂度：O(n)，单次遍历数组
• 空间复杂度：O(1)，只使用常数变量