在盒子 A 已被选中的前提下,从中取出红球的概率是 P(R | A) = 3/4。这就是条件概率,它以"盒子 A 已被选中"为条件,说法是"在盒子 A 已被选中的条件下,取出红球的概率"。
P(R | A) = 3/4 = count of Red balls in box A / total balls in box A
同理,P(G | A) = 1/4 表示在盒子 A 已被选中的条件下取出绿球的概率。
条件概率有一个关键特征:它缩小了"世界"的范围。计算条件概率时,参考系限定在条件所界定的子集之内。选择盒子时,"世界"是包含两个盒子的全集;选择球时,"世界"缩小到了那个特定的盒子,概率以该盒子中球的总数为分母。换言之,就是用盒子 A 中红球的数量除以盒子 A 中球的总数。
P(R ∩ A) 和 P(G ∩ A) 呢?它们也是概率但不附加任何条件。它们代表的是从树的根节点出发、从最开始起算的概率,不假设已经选好了盒子正在取球而是把选盒子和取球两步合在一起,得出一个从起点到终点的总概率。
P(R ∩ A) = P(A) . P(R | A) = 1/2 . 3/4 = 3/8
想想这个公式为什么成立呢?从盒子 A 中取到红球的条件概率是 3/4,但现在还要考虑选中盒子 A 本身的概率是1/2。两者相乘3/4 被缩减为 3/8。蒙眼人选中盒子 A 的概率 P(A) = 1/2,继而在盒子 A 中摸到红球的概率 P(R | A) = 3/4,两步合起来 P(R ∩ A) = 3/8。由于两个盒子各含 4 个球且等概率被选中,3/8 实际上等于盒子 A 中的红球数除以全集中球的总数。
小结一下整个过程:在全集 1 中,星球是盒子 A 和盒子 B,各自包含红球和绿球的分区。经过重组后,全集 2 中的星球变成了红球和绿球,各自包含盒子 A 和盒子 B 的分区。从一种划分到另一种划分的转换——这就是贝叶斯定理的本质。
直接代入公式验证:
P(A | R) = P(A ∩ R) / P(R)
= P(A ∩ R) / (P(A ∩ R) + P(B ∩ R))
= P(R | A) . P(A) / (P(R | A) . P(A) + P(R | B) . P(B))
= 3/4 (you can put values to confirm)
不过还需注意一点:
P(A ∩ R) = P(R | A) . P(A) [This is given in our problem. So we use this in our formula]
P(A ∩ R) = P(A | R) . P(R) [This is what we would find eventually. So we didn't use it in formula for calculation]
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留好亲人们的语音以备后续做 AI 语音复刻,我刷视频刷到过已经有 AI 复刻成功的离世亲人的语音的案列了,算是实现了赛博永生,用的是豆包的打电话功能。还好我和老爸的微信聊天中以及部分通话录音中有老爸的声音存在,后续我可以借助 AI 复活老爸,让他成为我的永生智能体老爸,目前我还没做,待后续成功做出后再发文章分享,有机会时希望你们收集一下亲人的语音。
我看了Apple Vision Pro 母亲节催泪广告:送给妈妈的礼物这部短片,它讲述了整整一年,Khulan 和 Sam 用 iPhone 拍摄了他们刚出生的儿子的空间视频。Sam 偷偷地将这些空间视频剪辑成一部家庭电影,供 Khulan 在 Apple Vision Pro 上观看。母亲节那天,Sam 给了 Khulan 一个惊喜,那是一部家庭影片,让她有机会重温往日的回忆,仿佛又回到了过去,儿子活生生的出现在他面前。我借此短片萌生的灵感,希望你们能尽可能的尝试用 iPhone 多拍些空间照片和视频,虽然我现在暂时没有 Apple Vision Pro,但在我有的那天,我相信老爸还是会活生生的出现在我面前。
正确看待并接受老爸的死亡也体现在思维方式的变化上。老爸因病离开让我们一家人重视了体检这件事,我和妻子为我妈、岳父岳母及时配置上了百万医疗险、正确看待并接受死亡等事件,何尝不是我爸留给我们后人的一份提醒和幸福让渡呐?老爸在本该享受幸福的年纪放弃享受,把他余生的幸福让渡给了后人,后人虽然会痛苦,但痛苦消除后把思考角度换成「xx 去世我接受,这是一场幸福转移,我要替 xx 好好活着,尽可能为 xx 多享受一些幸福」。我尽力去把这个思维方式灌输给我妈、爷爷奶奶和姑姑,让他们也试着去转变思维方式,目前来看比较奏效,它有点像认知行为疗法 CBT。
这一年我经历了太多,包括思想上和心态上的调整,包括现实中需要处理的各种琐事和面对的各种选择……不过人总是要往前看的,不能在沉溺于痛苦中。新的一年要回顾复盘和展望未来,在我看到少数派 2025 年度征文的主题是 AI 助力赛道和手工匠人赛道二选一时,我决定当一下手工匠人。
因为我这一整年的经历是 AI 写不出来的,我认为纵使 AI 能写出类似的文字,在组成段落的过程中却融不进当局者经历后的复杂感情,纵使 AI 进化到生成的内容看起来有感情,但它始终没有经历过,它是在模仿,那么感情也是虚假的,所以我毫无疑问选择手工匠人赛道,希望我这篇带有感情的心路历程文章能最大程度的保留我的真情实感,映照着我写在年度征文预告文章评论区下面的那句话「来了,我今年经历了太多,我的心路变化只有纯手写才能表达出来,我今年纯手写」。